Lecția 16. ECUAȚII ȘI INECUAȚII – pregătirea Evaluării Naționale 2020

• Noțiuni de reamintit

ECUAȚII

– O expresie matematică în care apare o singură dată semnul „=” și mai multe mărimi cunoscute sau necunoscute și care este adevărată pentru anumite valori ale necunoscutelor s.n. ECUAȚIE.

– Mărimile necunoscute se notează, de obicei cu x,y,z.

– Valorile necunoscutelor pentru care are loc egalitatea s.n. SOLUȚII sau rădăcini ale ecuației

– A afla rădăcinile unei ecuații înseamnă a REZOLVA ecuația

– Două ecuații care au aceleași soluții s.n. ECHIVALENTE

INECUAȚII 

– O expresie matematică în care apare o singură dată unul din semnele „

≤, ≥ <, >

” și mai multe mărimi cunoscute sau necunoscute și care este adevărată pentru anumite valori ale necunoscutelor s.n. INECUAȚIE.

– Mărimile necunoscute se notează, de obicei cu x,y,z.

– Valorile necunoscutelor pentru care are loc egalitatea s.n. soluții sau rădăcini ale inecuației

– A afla rădăcinile unei inecuații înseamnă a REZOLVA inecuația

– Două inecuații care au aceleași soluții s.n. ECHIVALENTE

Notăm cu S= mulțimea soluțiilor (in)ecuației.

• Ecuații standard

• Fie a,b

∈ℝ

(1) x+a=b, cu soluția x=b-a

⇒S=b-a

(2) x-a=b, cu soluția x=b+a

⇒S=b+a

(3) a-x=b, cu soluția x=a-b

⇒S=a-b

(4) ax=b, cu soluția x=

ba

( pentru a

≠

0);

⇒S=ba

0x=b ( pentru b

≠

0)

⇒S=∅

0x=0

⇒S=ℝ

(5) x:a=b, cu soluția x=a

·

b ( pentru a 0)

⇒S=a·b

(6) a:x=b, cu soluția x=

ab

( pentru b

≠

0)

⇒S=ab

a:x=0, pentru a

≠

0

⇒S=∅

0:x=0

⇒S=ℝ*

• Inecuații standard

• Fie a,b

∈ℝ

x+a

≤

b, cu soluția x

≤

b-a

x-a

≤

b, cu soluția x

≤

b+a

a-x

≤

b, cu soluția x

≥

a-b

ax

≤

b, cu soluția x

≤ba

( pentru a>0);

x

≥ba

( pentru a<0 )

x:a

≤

b, cu soluția x

≤

ab ( pentru a>0)

x

≥

ab ( pentru a<0)

Se raționează similar pentru celelalte trei tipuri de inegalități.

• Reguli de care trebuie să ținem cont

– Dacă ecuațiile/inecuațiile nu sunt în formă standard, le aducem la această formă, apoi aplicăm formulele învățate

– putem trece termenii dintr-un membru în altul, schimbându-le semnul

– la înmulțirea/împărțirea unei inegalităi cu un număr pozitiv, păstrăm sensul inegalității

– la înmulțirea/împărțirea unei inegalităi cu un număr negativ, SCHIMBĂM sensul inegalității

– NU împărțim NICIODATĂ cu 0!

• Exemple de ecuații

1)

x+7=3⇒x=3-7⇒x=-4⇒S=-4

2.

3x-4=5x+6⇒3x-5x=6+4⇒-2x=10⇒x=-102⇒x=-5⇒S=-5

3)

4x-3+5=-7⇒4x-12-5=-7⇒4x=-7+12-5⇒4x=0⇒x=04⇒x=0⇒S=0

• Exemple de inecuații

1)

3-2x≥7⇔-2x≥7-3⇔-2x≥4⇔x≤4-2⇔x≤2

2) Rezolvați în

ℕ

3x-4>-2x+6⇔3x+2x>6+4⇔5x>10⇔x>2⇒S=3, 4, 5, …

3)

2x-3+5<2x-7⇔2x-6+5<2x-7⇔2x-2x<-7+6-5⇔0x<-6⇔x∈∅

( orice valoare ar lua x, 0x=0>-6, deci inegalitatea nu poate să fie adevărată)

• Metoda „mersului invers”-ecuații

1)

-2x+8=4⇔-2x=4-8⇔-2x=-4⇔x=-4-2⇔x=2⇒S=2

2)

2+2-2·2-x:2+2=2 ( conform (1)) ⇔2-2·2-x:2+2=0( conform (2)) ⇔4-2·2-x:2=0⇔2·2-x:2=4 ( conform (2)) ⇔2-x:2=2( conform (4)) ⇔2-x=4( conform (5)) ⇔x=-2( conform (3)) ⇔⇒S=-2

• Observații 

– Dacă nu se menționează în enunț în ce mulțime trebuie rezolvată ecuația, înseamnă că soluțiile cerute sunt reale.

– Dacă se menționează în enunț o anume mulțime a soluțiilor, pentru concluzie trebuie NEAPĂRAT să ținem cont de acest aspect.

De exemplu, ecuația x+7=3are soluția

S=-4

(vezi exemplul1)

„ Rezolvați în

ℕ

ecuația x+7=3” are soluția

S=∅

pentru că valoarea găsită ( -4) nu este naturală, cum cere enunțul.

– Metoda „mersului invers” se poate aplica și la inecuații

• Riscuri (greșeli)

–  să nu scriem la final mulțimea soluțiilor

KIDI- sfat:

După rezolvarea ecuației/ inecuației, VERIFICĂM cerința din enunț!

–  să nu schimbăm semnul la trecerea dintr-un membru în altul al unui termen

KIDI- sfat:

putem să aplicăm varianta alternativă – de a adăuga/ scădea termenul care este scăzut/adunat: x+7=3|-7

–  să nu schimbăm sensul inegalităților când înmulțim ( sau împărțim) cu un număr negativ.

KIDI- sfat:

Mai întâi „scăpăm” de semnul – , înmulțind relația cu (-1) și schimbând sensul inegalităților.

De exemplu, în Exercițiul rezolvat 1)

-2x≥4|-1⇔2x≤-4⇔x≤-42⇔x≤-2

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”