Lecția 18. INTERVALE DE NUMERE REALE – pregătirea Evaluării Naționale 2020

3 puncte bonus

3 rezolvări

Engleză

• Noțiuni de reamintit

Tipuri de intervale. Fie

$a, b \in ℝ, a < b$

$(a, b) = \{x \in ℝ | a < x < b\} (a, b] = \{x \in ℝ | a < x \leq b\} [a, b) = \{x \in ℝ | a \leq x < b\} [a, b] = \{x \in ℝ | a \leq x \leq b\} (- \infty, a) = \{x \in ℝ | x < a\} (- \infty, a] = \{x \in ℝ | x \leq a\} (a, + \infty) = \{x \in ℝ | x > a\} [a, + \infty) = \{x \in ℝ | x \geq a\}$

Primele 4 intervale (în ordinea prezentată) sunt intervale mărginite, celelalte intervale sunt nemărginite.

Obs.:

$[a, a] = \{a\}$

• Exemple de intervale

$(- 1, 2) = \{x \in ℝ | - 1 < x < 2\} (4, \sqrt{21}] = \{x \in ℝ | 4 < x \leq \sqrt{21}\} [- \frac{1}{2}; 0, 5) = \{x \in ℝ | - \frac{1}{2} \leq x < 0, 5\} [- 7, 0] = \{x \in ℝ | - 7 \leq x \leq 0\} (- \infty, - 24) = \{x \in ℝ | x < - 24\} (- \infty, 3, (24)] = \{x \in ℝ | x \leq 3, (24)\} (0, + \infty) = \{x \in ℝ | x > 0\} [- 10, + \infty) = \{x \in ℝ | x \geq - 10\}$

• Operații cu intervale

Intervalele de numere reale sunt mulțimi de numere ( reale). Operațiile cu intervale sunt operațiile cu mulțimi: reuniune (

$\cup$

), intersecție (

$\cap$

), diferență ( – ).

Exemple:

1) Reuniune

$(- 10, 20) \cup [- 5, 34] = (- 10, 34] (- \infty, 17) \cup [5, 10) = (- \infty, 17) [- 3, 3] \cup [2, 8) = (- 3, 8)$

$[- 5, 7) \cup (7, 9)$

nu se poate scrie sub forma unui interval ( numărul 7 nu face parte nici din primul interval, nici din al doilea)

2) Intersecție

$(- 10, 20) \cap [- 5, 34] = (- 5, 20] (- \infty, 17 \cap [5, 10) = [5, 17) [- 3, 3] \cap [2, 8) = [2, 3] [- 5, 7) \cap (7, 9) = \emptyset$

3) Diferența

$(- 10, 20) - [- 5, 34] = (- 10, - 5) (- \infty, 17) - [5, 10) = (- \infty, 5) \cup [10, 17) [- 3, 3] - [2, 8) = [- 3, 2) [2, 8) - [- 3, 3] = (3, 8) [- 5, 7) - (7, 9) = [- 5, 7)$

Observație: Dacă avem mai multe operații, le efecuăm în ordinea în care apar.

• Inegalități cu modul

$\{x \in ℝ | |x| \leq a\} = [- a, a], \forall a \geq 0 \{x \in ℝ | |x| < a\} = (- a, a), \forall a \geq 0 \{x \in ℝ | |x| \geq a\} = (- \infty, a] \cup [a, + \infty) \forall a \geq 0 \{x \in ℝ | |x| > a\} = (- \infty, a) \cup (a, + \infty) \forall a \geq 0$

• Exercițiu

Aflați opusul produsului dintre cel mai mic număr întreg al mulțimii

$A \cap B$

și cel mai mare număr natural al mulțimii

$B$

unde

$A = \{X \in ℝ | |\frac{2 X + 1}{9}| \leq 1\}$

$B = \{X \in ℝ | - 1 < 5 - 2 x \leq 17\}$

Rezolvare:

$|\frac{2 x + 1}{9}| \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq \frac{2 x + 1}{9} \leq 1 | \cdot (+ 9) \Leftrightarrow - 9 \leq 2 x + 1 \leq 9 | + (- 1) \Leftrightarrow - 10 \leq 2 x \leq 8 | : 2 \Leftrightarrow - 5 \leq x \leq 4 \Leftrightarrow x \in [- 5, 4] - 1 < 5 - 2 x \leq 17 | + (- 5) \Leftrightarrow - 6 < - 2 x \leq 12 | : (- 2) \Leftrightarrow 3 > x \geq - 6 \Leftrightarrow - 6 \leq x < 3 \Leftrightarrow x \in [- 6, 3) \Rightarrow B = [- 6, 3)$

Cel mai mare număr natural al mulțimii

$B$

este 2.

$A \cap B = [- 5, 4] \cap [- 6, 3) = [- 5, 3)$

. Cel mai mic număr întreg este -5

Produsul cerut este

$(- 5) \cdot 2 = - 10$

, opusul său este 10.

• Riscuri (greșeli)

– să scriem în stânga intervalului un număr mai mare decât în dreapta.

KIDI- sfat: Imaginați-vă ( sau desenați) pe axa nunerelor, capetele intervalelor: în stânga întotdeauna este numărul mai mic!

– să nu scriem corect capetele intervalelor.

KIDI- sfat: Reprezentați pe axă cele două intervale și analizați cu atenție capetele intervalelor.

– să nu schimbăm sensul inegalităților când înmulțim ( sau împărțim) cu un număr negativ.

KIDI- sfat:

Mai întâi „scăpăm” de semnul – , înmulțind relația cu (-1) și schimbând sensul inegalităților. De exemplu, în Exercițiul rezolvat:

$- 1 < 5 - 2 x \leq 17 | + (- 5) \Leftrightarrow - 6 < - 2 x \leq 12 | : (- 1) \Leftrightarrow 6 > 2 x \geq - 12 | : (+ 2) \Leftrightarrow 3 > x \geq - 6 \Leftrightarrow - 6 \leq x < 3 \Leftrightarrow x \in [- 6, 3)$